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By Thomas Deck

Dieses Buch behandelt stochastische Integrale bez?glich der Brownschen Bewegung (It?-Integrale), den daraus resultierenden It?schen Differentialkalk?l und einige Anwendungen. Das Buch zeichnet sich durch zwei Besonderheiten aus: Zum Einen sind die mathematischen Voraussetzungen minimiert, und zum Anderen wird der It?-Kalk?l in einem ersten Schritt v?llig ohne Martingale entwickelt. Dies erleichtert (insbesondere f?r Anwender) den Einstieg in die Theorie, da tiefer liegende stochastische Methoden zun?chst nicht ben?tigt werden. Erst in einem zweiten Schritt werden die engen Beziehungen zur Martingaltheorie und zur Browschen Bewegung entwickelt (Darstellungss?tze, S?tze von L?vy, Girsanov, etc.). Anwendungen auf stochastische Differentialgleichungen und Optionspreistheorie runden den textual content ab.

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Entsprechend gilt fn dµ2 → µ2 ((a, b)). Da die Integrale nach Voraussetzung ur die Intervall-Folge An := u ¨bereinstimmen folgt µ1 ((a, b)) = µ2 ((a, b)). F¨ (a − n1 , b) gilt An ↓ [a, b). Die Stetigkeit endlicher Maße ergibt µ1 ([a, b)) = lim µ1 (An ) = lim µ2 (An ) = µ2 ([a, b)) . 2) auf ganz B( ). 18. Sei (Xn ) eine Folge von N (µn , σn2 )-verteilten Zufallsvariablen, die in L2 (P ) gegen X konvergieren mit Var[X] > 0. Dann ist X N (µ, σ 2 )-verteilt, wobei µ = lim µn und σ 2 = lim σn2 gilt.

30) F¨ ur ω ∈ N werde If (t, ω) := 0 gesetzt. Nach Wahl der fn gilt weiter t 0 t fnk (s) dBs → 0 f (s) dBs in L2 (P ) . a. ω. Der Prozess If t erweist sich damit als eine stetige Version von ( 0 f (s) dBs )t∈[0,T ] . ˜ t )t≥0 zwei stetige Versionen von ( t fs dBs )t≥0 , so gilt Sind (Xt )t≥0 und (X 0 ˜ t . 4 sind X und f¨ ur jedes t die P -fast sichere Gleichheit Xt = X ˜ somit sogar ununterscheidbar, sodass man ohne essenzielle Mehrdeutigkeit X auch von der stetigen Version des Wiener-Integrals sprechen kann.

2) u ¨ber kleine Zeitintervalle von 0 bis t, und gehe danach zum Grenzwert u ¨ber. 3) mit β := ζ/m und σ := γ/m. Dies wird abgek¨ urzt durch die Schreibweise dvt = −βvt dt + σ dBt . 4) ¨ Bemerkungen. 1. Gegen den Ubergang von einer Summe σ(ti )∆Bti zu ur zu kleine ∆ti die Moeinem Integral σ(t) dBt l¨asst sich einwenden, dass f¨ dellierung der ∆Bti als Brownsche Zuw¨achse versagt. h. der Ubergang von ∆t zu noch kleineren Zeiten hat keinen Einfluss auf den Wert des Integrals. Bei hinreichend langsam ver¨ anderlichem σ stellt daher das Integral eine gute Approximation ur kleine ∆t versagt.

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