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By Marcus R.

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Ecole d'Ete de Probabilites de Saint-Flour III. 1973

Les textes qu'on trouvera dans ce recueil constituent los angeles redaction finale des cours donnes a l'Ecole de Calcul des Probabilites de Saint Flour du four au 20 Juillet 1973.

Stochastic models, estimation and control. Volume 3

This quantity builds upon the rules set in Volumes 1 and a couple of. bankruptcy thirteen introduces the fundamental suggestions of stochastic keep an eye on and dynamic programming because the basic technique of synthesizing optimum stochastic regulate legislation.

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P f p q g q Integration auf beiden Seiten liefert auf der rechten Seite der Ungleichung den Wert 1 und damit die Behauptung. 46 2 Das Lebesgue-Integral Die n¨ achste Ungleichung, die wir aus der H¨ olderschen Ungleichung herleiten, ugt. 27 (Ungleichung von Minkowski). messbar und p ≥ 1, so gilt: f +g p ≤ f p + g p . Beweis. Genau wie beim Beweis der Ungleichung von H¨older sind einige Spezialf¨ alle offensichtlich: Ist p = 1 oder f p = ∞ oder g p = ∞ oder f + g p = 0, gibt es nichts zu zeigen. Es sei daher p > 1, f p < ∞, g p < ∞ und f + g p > 0.

Die Eigenschaft E sei f¨ ω ∈ Ω eines Maßraums (Ω, F, µ) sinnvoll. ), wenn es eine Nullmenge N ∈ F ¨berall (Abk¨ gibt, so dass E f¨ ur alle ω ∈ N c gilt. Um mit dieser Redeweise vertraut zu werden, geben wir einige Beispiele. , wenn es eine Nullmenge N ¯ ist fast gibt, so dass f |N c = g|N c . Eine numerische Funktion f : Ω → R c u ¨berall endlich, wenn es eine Nullmenge N gibt, so dass f (N ) ⊂ R. ¨ u. In der Wahrscheinlichkeitstheorie werden wir statt fast u ¨berall“ die Bezeich” nung fast sicher“ verwenden, die im Zusammenhang mit Wahrscheinlichkei” ten intuitiver ist.

38 2 Das Lebesgue-Integral Ein Beispiel zur Motivation Wir betrachten den Maßraum (R, B, λ). Als Beispiel wollen wir die stetige Funktion f : R → R, x → x2 u ¨ber dem Intervall [0, 1] Riemann- und Lebesgueintegrieren. Das Riemann-Integral ergibt: 1 1 3 x 3 x2 dx = 0 1 = 0 1 . 3 Zur Bestimmung des Lebesgue-Integrals geben wir eine Folge monoton wachsender Treppenfunktionen an: fn : R → R, n ∈ N, 2n −1 2 j 2n fn (x) := j=0 I] j 2n (x). , j+1 2n ] ur alle n ∈ N und fn ↑ f I[0,1] , so dass wir mit Hilfe von Dann ist fn ∈ T + f¨ onnen: (fn ) das Lebesgue-Integral bestimmen k¨ 2n −1 fn dλ = j=0 1 = 3n 2 j 2n 2 j+1 j − n 2n 2 2n −1 j2 j=0 1 (2n − 1)2n (2 · (2n − 1) + 1) = 3n 2 6 2 · 23n 1 1 = 1− n 1 − n+1 3n 6·2 2 2 1 −→ = f dλ.

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